教学目标

1.使学生理解增函数、减函数的概念；

2.使学生掌握判断某些函数增减性的方法；

3.培养学生利用数学概念进行判断推理的能力；

4.培养学生数形结合、辩证思维的能力；

5.养成细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯。

教学重点                

函数单调性的概念

教学难点                

函数单调性的判断和证明

教学方法                

讲授法

教具装备                

幻灯片3张（或多媒体课件）

第一张：课本P₅₈图2—7（记作A）。

第二张：课本P₅₈图2—9（记作B）。

第三张：课本P₅₉图2—10（记作C）。

教学过程              

（I）复习回顾

师：上节课我们学习了函数的概念，同学们回忆一下，函数有几个要素？各是什么？

生：（略）

师：函数的定义域怎样确定？怎样表示？

生：（略）

师：函数的表示方法常见的有几种？各有什么优点？

生：（略）

师：前面我们学习了函数的概念、表示方法以及区间的概念，现在我们来研究一下函数的性质（导入课题，板书课题）。

（II）讲授新课

（指出幻灯片Ａ，让同学观察）。

师：函数y=x²的图象在y轴右侧的部分是上升的，说明什么？

生：随着x的增加，y值在增加。

师：怎样用数学语言表示呢？

生：设x₁、x₂∈[0，+∞]，得y₁= f(x₁), y₂= f(x₂).当x₁<x₂时，f(x₁)< f(x₂).

(学生不一定一下子答得比较完整，教师应抓住时机予以启发)。

师：这时，我们说y₁= x²在[0，+∞]上是增函数。（同理分析y轴左侧部分）

一般地，设函数f(x)的定义域为I：

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x₁、x₂,当x₁、x₂时都有f(x₁)< f(x₂).那么就说f(x)在这个区间上是增函数（打出幻灯片B）。

如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x₁、x₂，当x₁<x₂时都有f(x₁)>f(x₂).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y= f(x)的单调区间，在单调区间上增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；

（2）函数的单调性是对某个区间而言的，它是一个局部概念；

（3）判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：

a.设x₁、x₂∈给定区间，且x₁<x₂.

b.计算f(x₁)- f(x₂)至最简。

c.判断上述差的符号。

（III）例题分析

例1：课本P₅₉例1。（打出幻灯片C，与学生一块看，一起分析作答，之后指出：）

要了解函数在某一区间上是否具有单调性，从图上进行观察是一种常用而又粗略的方法。严格地说，它需要根据单调函数的定义进行证明。

例2：证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。

证明：设任意x₁、x₂∈R，且x₁<x₂.

则f(x₁)- f(x₂)=(3x₁+2)-(3x₂+2)=3(x₁-x₂).

由x₁<x₂得x₁-x₂<0.∴f(x₁)- f(x₂)<0,即f(x₁)<f(x₂).

∴f(x)=3x+2 在R上是增函数。

例3：证明函数             在（0，+∞）上是减函数。

则

由x₁、x₂∈（0，+∞），得x₁x₂>0，又x₁<x₂，得x₂-x₁>0。

∴f(x₁)- f(x₂)>0,即f(x₁)>f(x₂),∴            在（0，+∞）上是减函数。

注意：通过观察图象，对函数是否具有某种性质作出一种猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法。

（IV）课堂练习   课本P₆₀练习1—4及P₅₉、P₆₀两个想一想。

（V）课时小结

本节课我们学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区间而言的，同时在理解定义的基础上，要掌握证明函数单调性的方法步骤，正确进行判断和证明。

（VI）课后作业

一、课本P₆₄习题2.3,1、2、3练习，4、5、6、10作业。

二、预习：函数的奇偶性（P₆₀—P₆₂例4结束）。预习提纲：

1.函数奇偶性的定义是什么？

2.具有奇偶性的函数其定义域有什么特点？

3.怎样判断函数是否为奇偶函数。

板书设计              

课题：     例题：      小结： 定义： 注意：（1） （2）     （3）

教学后记